如何理解和应用在Matlab中的QR分解
在计算线性代数时，正交矩阵或包含正交列的矩阵是我们经常会遇到的实矩阵类型。这些矩阵的特点是所有列具有单位长度并且相互垂直。在Matlab中，如果一个矩阵Q是正交矩阵，那么它的转置乘以自身等于单位矩阵，即Q'QI。最简单的正交矩阵可以看作是二维坐标系中的旋转变换。
复矩阵中对应于正交矩阵的术语是单位矩阵。在数值计算中，正交矩阵和单位矩阵的使用能够保持向量的长度和角度，并且不会引入额外的误差。因此，在进行数值计算时，正交矩阵和单位矩阵往往是非常实用的工具。
QR分解在矩阵分解中的应用
正交或QR分解是一种将任意矩形矩阵表示为正交（或酉）矩阵与上三角矩阵的乘积的方法。在实际应用中，可能还涉及到列置换的情况。通常，我们可以将一个矩阵A表示为QR的形式，即AQR，其中Q为正交（或单位）矩阵，R为上三角矩阵。有时也会引入置换向量P。
在QR分解中，有四种常见的变体形式，包括完全大小或适当大小的分解，以及是否使用列置换。当处理超定线性方程组时，即行数多于列数的情况（m×n且m>n），完全大小的QR分解将得到一个方阵Q（m×m正交矩阵）和一个矩形m×n的上三角矩阵R。
精简QR分解的优势与应用
在实际操作中，很多时候我们并不需要Q的全部列，特别是当这些列与R底部相乘得到零时。因此，精简的QR分解可以产生一个矩形矩阵（具有正交列的m×n Q）和一个方阵n×n的上三角矩阵R。尽管对于小规模示例而言节省的内存并不明显，但对于大规模矩阵的计算，在时间和内存方面的节约可能会变得至关重要。
与LU分解相比，QR分解无需进行消元或置换操作。然而，可选的列置换对于检测奇异性或秩亏问题非常有帮助。在QR分解的每一步中，剩余未分解部分矩阵的列（具有最大范数）被选为该步骤的基础。这确保了R的对角线元素按降序排列，通过检查这些元素可以确保各列之间的线性相关性。
QR分解在解决线性方程组中的应用
利用QR分解，超定线性方程组可以被转化为等效的三角形方程组。通过将A*xb 转化为Q*R*xb，其中Q为正交矩阵，可以保留欧几里德范数。这个等式也可以写为R*xy，其中yQ'b。由于R的后m-n行为零，因此这个等式可以分为两部分来求解。
如果矩阵A是满秩的，那么可以通过求解x使第一个表达式为零来解决问题，并且第二个表达式将提供残差范数。当A不是满秩时，可以利用R的三角形结构来求解最小二乘问题的基本解。QR分解在解决线性方程组和最小二乘问题时展现出了其强大的应用价值。
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，本站不承担相关法律责任.如有侵权/违法内容,本站将立刻删除。
