证明e＜3？

网友解答: 从e的来历说起，这就要提到欧洲资本主义的发展，货币的时间价值为人们所广泛认识，资本是追逐利益的，有个黑心的资本家，他把钱借出去，收取年利率100%，那到期他的回报率将是2，但

从e的来历说起，这就要提到欧洲资本主义的发展，货币的时间价值为人们所广泛认识，资本是追逐利益的，有个黑心的资本家，他把钱借出去，收取年利率100%，那到期他的回报率将是2，但他还不满足，于是乎，就得想办法，他说，年利率还是100%，但得分半年付一次，半年的利息累积到本金，跟原来的本金相加，作为下一个半年的本金计息，这就是复利，实际利率就不是100%了，回报率就是（1+50%）²=2.25，他开心了一阵子，发现还不够，于是改成一个季度一次的复利，那得到的回报率约为2.441，虽然增加的幅度没之前大了，但好歹是增加了点。自从尝到这个甜头后，他就不断地把一年细分，期数就越来越长，每期时间越来越短。那这个套路是不是可以一直玩下去，如果无限分割（时间分得数学理论上的无限小，可以认为连续，金融上就叫连续复利），这个回报率会无限增长呢还是会有个尽头，数学家发现，它是有尽头的（用数学语言说就是“收敛”），这就是e的极限定义――e=lim（1+1/n）ⁿ，n趋于无穷。

从e的极限定义出发，通过数学的不断发展，结合各种工具，e出现导数、积分、微分方程、级数等等数学领域中，这是个一贯相连的体系，不是几页、几十页纸能讲清的问题。

在自然科学中，人们往往会提出很多模型，需要理想的简化的数学语言，为了方便，模型往往有很多连续性，如经典物理，量子力学的薛定谔方程、热力学上的可逆，连续进出料和反应，反应级数，空气阻力和速度的线性关系等等，这些模型的数学语言很多是微分方程，其解是个函数（通俗地，很多场合表现为“公式”形式），这样得到的公式，往往包含e。

关于e<3的一个简单证明，就说下e的泰勒级数定义（至于怎么来的，就不说了，前面说过，从e的极限定义到它的泰勒级数，不是几十页纸能说清的），e=∑1/n！，（n从0开始），e=1+1/1!+1/2！+1/3！+1/4！+1/5！+……<2+1/2+1/6+1/（3×4）+1/（4×5）……=2+1/2+1/6+（1/3-1/4）+（1/4-1/5）+……=3。

关于e^x求导，很容易推导，最基础的就是用e的极限定义和导数定义（△x趋于0）：（e^x）′=［e^（x+△x）-e^x］/△x=e^x×（e^△x-1）/△x=e^x×{［（1+△x）^（1/△x）］^△x-1}/△x=e^x×（1+△x-1）/△x=e^x

一般应用放缩法，讲不等式时的典型的例子：二项式定理结合裂项比较简单。

但若证明单调性递增，不用导数很麻烦，即使求导，也要二次求导，一般高考中不做要求。

但大一必修，两个重要的极限之一（单调且有界），另一个是sinx~x（x→0），必须掌握，现代数学的基础。

你要注意的是，ln和lg高考试卷都考，但现代数学与e的练习更密切！