上海市闵行区2010届高三上学期期末质量调研考试(数学理)
上海市闵行区2010届高三上学期期末质量调研考试数 学 试 卷（理科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名及准考证号等填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题时客观题用2B 铅笔按要
上海市闵行区2010届高三上学期期末质量调研考试
数 学 试 卷（理科）
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名及准考证号等填写清楚，并在规定的区域
内贴上条形码．答题时客观题用2B 铅笔按要求涂写，主观题用黑色水笔填写．
2．本试卷共有23道题，共4页. 满分150分，考试时间120分钟．
3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留.
一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内
直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1
．函数f (x ) 1的反函数f -1(x ) = .
2n 2-1= . 2．lim 2n →∞n n
3．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为（单位：克）125、124、122、123、
126，则该样本方差s 2= .
4．已知集合A ={x x -2<3, x ∈R }，
B ={x 2x >2a , x ∈R }，A ，且A B =那么实数a 的取值范围是 . 3215．化简行列式x y z = . -1106．在右面的程序框图中，要求输出三个实数a 、b 、c 中 最大的数，则在空白的判断框中应填的是 . 7．某校高二（8）班4位同学的数学期中、期末和平时成
⎛95⎫⎛88⎫⎛90⎫ ⎪ ⎪ ⎪908592⎪ ⎪ ⎪ 绩依次用矩阵A =表示， 、B =、C = 80⎪ 76⎪ 78⎪ ⎪ ⎪ ⎪7583⎝⎭⎝⎭⎝60⎭
总评成绩按期中、期末和平时成绩的30、40、30的
总和计算，则4位同学总评成绩的矩阵X 可用A 、B 、C
表示为 .
8．如图，直三棱柱OAB -O 1A 1B 1中，∠AOB =90，M 是
侧棱BB 1上一点，向量a =(1, 1, -1)是平面OA 1M 的一
个法向量，则平面OAB 与平面OA 1M 所成二面角的锐角
为 （结果用反三角函数值表示）.
9．已知函数f (x ) =lg 1-x sin x 1. 若f (m ) =4，则f (-m ) = . 1 x
10．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，若A 、B 两点的横坐标分别为54β⎫⎛、. 则tan α ⎪的值为 . 1352⎭⎝
1000π
cm 3. 311．用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的高为10cm ，体积为
2则制作该容器需要铁皮面积为 cm 1.414，
π取3.14，结果保留整数）.
12．已知无穷数列{a n }，首项a 1=3，其前n 项和为S n ，且a n 1=(a -1) S n 2 8(a ≠0, a ≠1, n ∈N *) . 若数列{a n }的各项和为-a ，则a = . 3
13．如图，△ABC 中, AB =4, AC =8, ∠BAC =60 ，
延长CB 到D ，使BA =BD ，当E 点在线段AD
上移动时，若=λ μ，则t =λ-μ
,的最大值是 .
14
．设函数f (x ) =(a <0) 的定义域为D ，
若所有点(s , f (t ))(s , t ∈D ) 构成一个正方形区域，则a 的值为 .
二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案. 考生应在答题
纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．
15．“11 (A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件. (C) 充要条件. (D) 既非充分亦非必要条件. 16．函数y =f (x ) 的图像与y =ln(x -2) 的图像关于x =1轴对称，若f (a ) =-1，则a 的 值是 [答]（ ） (A) -e . (B) e . (C) -. (D) 1 e 1. e 17．2010年上海世博会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从 事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，则小张不从事翻译工作且小赵不从事司机工作的概率是 [答]（ ） (A) 319213. (B) . (C) . (D) . 205205 18. 在平面直角坐标系中，定义⎨⎧x n 1=y n -x n ⎩y n 1=y n x n (n ∈N )为点P (x , *n n y n ) 到点 P n 1(x n 1, y n 1) 的一个变换，我们把它称为点变换. 已知P 1(0, )1，P 2(x 2, y 2), , P n (x n , y n ), P n 1(x n 1, y n 1)(n ∈N *)是经过点变换得到的一列点. 设a n =P n P n 1，数列{a n }的前n 项和为S n ，那么lim (A) S n 的值为 [答]（ ） n → ∞a n (B) 2 (C) 2 (D) 1三. 解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19. （本题满分14分） 已知四棱锥P -ABCD , PA ⊥底面D A B C , PA D =1，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，PD 与底面ABCD 所成角的大小为π，求异面直线AE 与PC 所成角的大小（结果6 用反三角函数值表示）. B 20. （本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分． 已知以角B 为钝角的∆A B C 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， m =( a , 2b ), n =-sin A ，且⊥. ) （1）求角B 的大小； （2）求cos A cos C 的取值范围. 21. （本题满分16分）本题共有2个小题，每小题满分各8分． 某公园举办雕塑展览吸引着四方宾客. 旅游人数x 与人均消费t （元）的关系如下： ⎧-12t 1600(10≤t ≤50, t ∈N ); x =⎨-6t 1300(50 （1）若游客客源充足，那么当天接待游客多少人时，公园的旅游收入最多？ （2）若公园每天运营成本为5万元（不含工作人员的工资），还要上缴占旅游收入20的税收，其余自负盈亏. 目前公园的工作人员维持在40人. 要使工作人员平均每人每天的工资不低于100元，并维持每天正常运营（不负债），每天的游客人数应控制在怎样的合理范围内？ （注：旅游收入=旅游人数×人均消费） 22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2、3小题满分各6分． 已知等差数列{a n }中，公差d >0，其前n 项和为S n ，且满足a 2⋅a 3=45， a 1 a 4=14. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设由b n =S n 1（c ≠0）构成的新数列为{b n }，求证：当且仅当c =-时，数n c 2 列{b n }是等差数列； （3）对于（2）中的等差数列{b n }，设c n =8*（n ∈N ），数列{c n }的前 (a n 7) ⋅b n ⎫n *， ⎪⋅0.9（n ∈N ）⎭⎛8f (n ) =T ⋅a 3-n 项和为T n ，现有数列{f (n ) }， n n b n ⎝ *是否存在整数M ，使f (n ) 值，若不存在，请说明理由. 23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3 小题满分6分． 已知函数f (x )=log a (x 1)(a >1)，函数g (x )的图像与函数y =32(a >1)的图像关于直线y =x 对称. （1）求函数g (x )的解析式； （2）若函数g (x )在区间[m , n ] m > 求实数p 的取值范围； （3）设函数F (x )=a f (x )-g (x )(a >1)，试用列举法表示集合M =x F (x )∈Z . ⎛⎝3⎫⎪上的值域为[log a (p 3m ), log a (p 3n )]， 2⎭{} 闵行区2009学年第一学期高三年级调研考试 数学试卷参考答案和评分标准 一、填空题（每题4分） 1. (x -1)； 3 2. 2； 3. 2； 4. (-∞, -1]； 5. x y -5z ; 6. 理a >b 且a >c ? ；文b >c ? ； 7. 0. 3A 0. 4B 0. 3C ；8. 理10. 理；文 9. -2； 411；文2； 11. 444； 12. 理-；文-2； 23 13. 理1 ；文 2； 14 -4. 二、选择题（每题4分） 15. A ； 16. C ； 17. B ； 18. C 三、解答题（19题至23题）19. （本题满分14分） (理科) 取CD 中点F ，连AF ， E 为PD 中点，∴EF //PC ， ∴∠AEF （或其补角）的大小即为异面直线AE 与PC 所成的角的大小， (2分) PA ⊥底面ABCD ，∴∠PDA 就是PD 与底面ABCD 所成角，即∠PDA = 且PA ⊥AD , PA ⊥AC ，由已知条件及平面几何知识，得：PD = 2, π6， AD ==AB AE =1AC =AF = PC =EF =(8分) 12 22-= (12分) 在∆ AEF 中，由余弦定理得：cos ∠AEF = ∴∠AEF =π-， 即异面直线AE 与PC 所成的角的大小为arccos ． (14分) 7 另解： 以A 为原点，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， PA ⊥底面ABCD ，∴∠PDA 就是PD 与底面ABCD 所成角，即∠PDA =PA ⊥AD , PA ⊥AC ，由已知条件及平面几何知识，得： π6，且 PD =2, AD ==AB , ∴A (0,0,0), P ( 0,0,1), C ⎛1⎫ ∴AE = 2⎪⎪，PC = ⎝⎭ ⎛1⎫, E 2⎪⎪ (4分) ⎝⎭)-1 (8分) ) AE PC =∴cos θ=， (12分) =AE PC 即异面直线AE 与PC 所成的角的大小为． (14分) （文科）取BC 中点E ，连AE , DE ， D 为PC 中点，∴DE //PB ， ∴∠ADE （或其补角）的大小即为异面直线AD 与PB 所成的角的大小. (2分) PA ⊥底面ABC ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABC 所成角，即∠PCA = PA ⊥AB , PA ⊥AC ，由已知条件及平面几何知识，得： π6，且 PC =2, AC =AB =, PB =2，于是AD =1, DE =1, AE =6， (8分) 2 6 AD 2 DE 2-AE 2=1(12分) 在∆ADE 中，由余弦定理得cos ∠ADE ==2AD ⋅DE 2⨯1⨯14 11∴∠ADE =arccos ，即异面直线AD 与PB 所成的角的大小为arccos ．(14分) 441 1- 20. （本题满分14分）（1）⊥. ∴m ⋅n =0-2b sin A =0 （2分） 由正弦定理，得a =2R sin A , b =2R sin B ，代入得： （3分） sin A -2sin B sin A =0,sin A ≠0，∴sin B = B 为钝角，所以角B =3， （ 5分） 22π. （7分） 3 A C A -C πcos =C -) 226（2）（理科） cos A cos C =2cos （或：cos A cos C =cos A cos ⎛π⎫-A ⎪ ⎝3⎭13π⎫⎛=cos A cos A sin A =sin A ⎪） （10分） 223⎭⎝ π⎫⎛⎤π⎛π2π⎫⎛⎛π⎫ , 1⎥ （12分） 由（1）知 A ∈ 0, ⎪, A ∈ , ⎪， ∴sin A ⎪∈ 323333⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭⎦ 故cos A cos C 的取值范围是 ⎛3 （14分） ⎝2（文科） sin A A =2sin A ⎛ ⎝π⎫⎪， （10分） 3⎭ π⎫⎛⎤π⎛π2π⎫⎛⎛π⎫ , 1⎥，由（1）知 A ∈ 0, ⎪, A ∈ , （12分） ⎪，∴sin A ⎪∈ 323333⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭⎦ 故sin A 3cos A 的取值范围是3, 2] （14分） t 5N ∈0, ) （4分） 2t 0N ∈0, ) 21. （本题满分16分）（1）设当天的旅游收入为L ，那么L=xt，得 ⎧-12t 2 160t 0, (≤1t 0≤⎪ L =⎨25t 0≤⎪⎩-6t 130t 0, (< 22当10≤t ≤50时, L =-12t 1600t ≤-12⨯50 1600⨯50=50000（元） （5分） ⎛325⎫211250当50 t ∈N ， ∴当t =108元时，L max =70416（元） （6分） 此时 x =652（人） （7分） 故当天接待旅游人数为652人时旅游收入最多，收入为70416元. （8分） （2）要使工作人员平均每人每天的工资不低于100元，并维持每天正常运营，即每天的旅游收入上缴税收后不低于54000元， 因-12t 1600t ( (2)max =50000≤54000, (10≤t ≤50), 显然不满足条件 （10分） 22由-6t 1300t ⨯80≥54000⇒3t -650t 33750≤0(50 0 （14分） 得 87≤t ≤13. 因此520≤x ≤778，故每天的游客人数应控制在520人到778人之间. （16分） 22. （本题满分16分）（1）∵等差数列{a n }中，公差d >0， ∴⎨⎧a 2⋅a 3=45⎧a 2⋅a 3=45⎧a 2=5⇒⎨⇒⎨⇒d =4⇒a n =4n -3 （4分） ⎩a 1 a 4=14⎩a 2 a 3=14⎩a 3=9 n (1 4n -3)n (2n -1)S =n (2n -1)，b n =n =， （6分） n c 2n c （2）S n = 由2b 2=b 1 b 3得121151= ，化简得2c 2 c =0, c ≠0，∴c =-（8分） 2 c 1 c 3 c 2 1反之，令c =-，即得b n =2n ，显然数列{b n }为等差数列， 2 1∴ 当且仅当c =-时，数列{b n }为等差数列. （10分） 2 （3）（理科） c n = ∴T n =1-8111 ==-a 7⋅b n 1n n n 1n n 11111n - -= 223n n 1n 1 ⎛8⎫n n ⎛4⎫f (n )=T n ⋅ a n 3-⎪⋅0.9=⋅ 4n -⎪⋅0.9n =4(n -1)⋅0.9n （12分） n 1⎝n ⎭b n ⎭⎝
