函数的本质是什么？

网友解答: 谢谢邀请，直奔主题，我是“逃学博士”。函数的来源如果给你一个函数 y = 5x, 这到底是什么意思呢？其实生活中你就可以总结出来，大米￥5块一斤，我买一斤得付5块钱，两斤付1

谢谢邀请，直奔主题，我是“逃学博士”。

如果给你一个函数 y = 5x, 这到底是什么意思呢？其实生活中你就可以总结出来，大米￥5块一斤，我买一斤得付5块钱，两斤付10块（2 * 5），以此类推。那么，

付的钱 = 5 * 米的斤数

当我们不确定我们要买多少斤的时候，我们用一个字母x去代替这个模糊的数，表达如下：

付的钱 = 5 * x 那么x是什么呢？他依然是数，准确的说是数的集合。 如果我们只关注等式右边的5 * x， 那这是“代数”的思考范畴。

但是当我们把付的钱看成是y或者f(x)的时候，y = 5x就是函数了。这是函数发展的一个缩影。

首先要弄得因变量和自变量，还是上面的例子，米的斤数x我们可以随便买，但是当x变化的时候，所付的钱数y就得跟着变化。那么，x就自变量（自己变化的量），y就是因变量（因为外界的变化而变化的量）。

这样去理解：男生追女生的时候说：“我会为了你而改变”。虽然大部分的男生只是随口说说，根本不会去这么干。但是这句话里面，男生和女生的关系是什么呢？女生就是自变量，男生是因为女生才改变的，所以男生是因变量。

函数y = f(x)最最本质的定义时，任意一个自变量x都对应一个因变量y。“一一对应”有时候会给学习函数带来很多的困惑。

任意一个自变量x都对应一个因变量y。记住这句话就够了。

例子：y = x 是函数，为什么？因为x取任意一个数的时候，都能找到一个y对应。x = 1, y也等于1；

y = x ^ 2是函数，为什么？因为x取任意一个数的时候，都能找到一个y对应。 x = 1, y = 1; x = -1, y = 1。 我们只能说y是x的函数，但是反过来呢，y = 1是不是可以对应两个x = 1或者-1。那么x就不是y的函数。

x^2 + y^2 = 1， 这个图形画出来是个圆。那么x，y之间有函数关系吗。答案是没有。为什么？以为当x取任意一个有效值的时候，y都有两个值对应，比如x = 0, y = 1或者-1；反之亦然。那么我们就说x，y没有函数关系。

怎么去理解呢？举个不恰当的例子 - 古时候的“一夫多妻”，一个丈夫可以有多个妻子，但是妻子只能有一个丈夫。那么，妻子就是x，丈夫就是y。

曾今就有人争论说，到底正整数（1，2，3，4, 5...）和正偶数（2,4,6,8,10...）那个数多呢？

你的答案是什么呢？直觉上来说正整数的个数要多于正偶数。因为正整数里还有奇数的存在。

但是有的人就会说，正偶数看做y，正整数看做x，那么他们的关系是：y = 2x；也就是说正整数中任意一个数字通过乘以2都可以在正偶数里找到。1 - 2， 2- 4， 3 -6；

那么，由于函数的对应关系，可以总结出不管正整数有多少个，正偶数都可以相应的匹配多少个。那就是说，正整数的个数和正偶数的个数相等。

是不是绕进去了。没关系。函数就是个对应关系。任意一个自变量x都对应一个因变量y。上面这道题本身就是有问题的，怎么去数无穷的个数呢？都告诉你无穷了，有限定的个数还叫无穷吗？

这就是“有穷思想”和“无穷思想”的区别？以后有机会讲讲微积分。

“逃学博士”，天天有料，喜欢就关注我。

函数的本质，就是对应关系。

更广泛的对应关系，称为映射。映射分为单射、满射，及合而为一的双射，也称一一对应。

函数，作为映射的特例，是数与数的对应关系；映射，不必拘泥于数！

函数，很多分类，林林总总，无法归总。

按性质分，有单调函数，凹凸函数，奇偶函数，周期函数，可导函数，可积函数，正则函数，…；

按变量分，有实变函数，复变函数，泛函，…；

按人名分，黎曼函数，柯西函数，狄里克雷函数。

高等数学将基本初等函数归为五类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

数学分析将基本初等函数归为六类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。

初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。

没有函数，就没有现代数学！