函数的函数是泛函，泛函的泛函是什么？

网友解答: 这其实是个名称问题，函数和泛函并没有什么本质的不同。它们都是一种映射（mapping），区别是：函数一般代表的是定义域和值域为数域（常见的如 R^n）的映射，而泛函指的是定义

这其实是个名称问题，函数和泛函并没有什么本质的不同。它们都是一种映射（mapping），区别是：函数一般代表的是定义域和值域为数域（常见的如 R^n）的映射，而泛函指的是定义域为某函数空间，值域为数域的映射。说白了，泛函就是函数的推广，泛函的泛函还是泛函，没有其他特别的称呼，据我所知。

数学里专门研究泛函的分支是泛函分析——概括整理经典分析和函数论的成果，把数学分析的一些研究方法运用到一般的抽象空间（比如Banach空间、Hilbert空间）进行更纯粹的研究。目前，泛函分析的内容非常丰富，与其他学科也有着紧密的联系，已经成为了研究数学、物理等领域不可或缺的知识。

下面对数学里线性泛函的相关概念作一简单的介绍。

首先，线性泛函是特殊的线性算子：举个例子，线性代数里矩阵可以对应一个线性变换，就是一个线性算子。再比如求导运算：

就是连续可微函数空间到连续函数空间的线性算子。

取值于实数（复数）的线性算子称为实（复）线性泛函，比如积分运算：

f就是一个函数空间上的线性泛函。

简明地，如果一个线性算子T满足

那么称T连续。如果对于线性算子T，存在一个常数C0满足

那么称T 有界。当X和Y都是赋范空间时，连续性和有界性是等价的。有了这些概念，我们来介绍泛函分析中最重要的定理之一——Hahn-Banach延拓定理，在数学上具有广泛的应用。

对于有限维空间上的线性泛函，它一定是连续的， 而且可以组成一个与基空间具有相同维数的线性空间，我们称为对偶空间。自然会问：如果是无穷维线性空间，会有什么结果？下面给出Hahn-Banach定理在赋范空间的一个特殊形式：

由这个可以得到判断赋范空间零元的一种方法：

X*代表X上的对偶空间（包含X上所有的连续线性泛函）。

至于其他的一些重要概念，比如：弱收敛，谱，广义函数，紧算子等，下次有机会再说吧。

就概念抽象层次来讲，感觉题主是非要问出“函子”的概念不可~ ;-)。简单说，“泛函的泛函还是泛函”。原因如下：

函数、映射、泛函、算子、态射、函子等等，其本质都是一种对应关系，只不过关系的两头是不同的对象。

函数：经典的函数定义是Dirichlet在1837年给出的，即从数到数的对应（1→1、多→1，不能1→多）。

函数概念的推广：到Cantor的集合论一出来，经典函数概念就明确为一个数集（称为前域，原来的定义域是它的子集）到另一个数集（称为后域，原来的值域是它的子集）的对应关系。进而最终在任意的两集合之间建立了函数的推广概念。这里把这个推广概念叫做映射，函数还是原来的意思，也有做法是推广后的概念仍叫函数，不过在具体语境下再进行约束声明。

泛函：最初是指前域为函数空间、后域为数域的一类特殊映射，后来前域推广到任意空间。研究学习时一般约束前域在具有一些特殊结构的函数空间上，如A={n维向量空间上的线性变换}上的线性泛函等。

算子：进一步推广了后域到函数空间上，从而泛函就是一种特殊的算子。

态射：这个概念很抽象，但它实际上就是在两个数学对象之间保持某种结构的映射。前域和后域都从集合推广为类，这个类就是程序员们都很喜欢的面向对象编程中的class在数学上的对应物。

每个集合也都是一个类，另外还存在不是集合的类，比如所有集合组成的集合类、所有拓扑空间组成的拓扑空间类，以及群类、算子类等等。当然，前后域之间的对应要约束下，不能太随意，即保持某种结构。从而集合论中的态射就是映射；群论中的态射就是群同态；拓扑学中的态射就是连续映射。而在范畴论中：

函子：范畴论中的态射就是函子。而函子的定义是范畴之间保持恒等元和态射复合运算的映射。

这些概念发展中的著名人物很多、概念辨析过程很曲折。从概念理解入手可以作为理解数学本质的一个重要窗口。