存不存在没有图像的函数？

网友解答: 其实很多。而且，可以证明，这种函数事实上不在“少数”，甚至比那些“正常”的函数“多得多”。狄拉克δ函数（冲激函数）学信号处理的同学对它可以说相当熟悉了。其实我们是没法画出这个

其实很多。而且，可以证明，这种函数事实上不在“少数”，甚至比那些“正常”的函数“多得多”。

学信号处理的同学对它可以说相当熟悉了。

其实我们是没法画出这个图像的，因为它在原点处的幅度是无穷大，但是在“这一点”的面积又是1。

在数学发展史上，人们一直猜测，连续函数必然是近乎可导的。即：

连续函数在其定义域中，除去有限个点外，总有一些光滑的可导部分，所谓不可导的点必然只是有限的。

1872年，德国数学家魏尔斯特拉斯（集合论创始人康托尔的导师）利用函数项级数构造了一个函数，数学描述如下：

这个函数奇葩在于，它处处连续，却处处不可导。

简而言之，它的尖刺折点是如此之多，以至于无论你放多大，在多细微的尺度观察任何一段，函数图像都不会更光滑，它处处都是尖锐的。

它是一种不可测函数，你无法用笔画出图像的任何一部分，因为每一点的导数都不存在，画的人将无法知道每一点该朝哪个方向画。

通过计算机逐点描绘，函数图像大致是这样的：

该反例构造出来后，在数学界引起极大的震动。

随后，这个例子促成了一门新的学科“分形几何”的产生，所谓“分形”，就是指某图案的局部与整体具有相似性。

定义：

f(x) = 1/q，当x = p/q，p为整数，q为自然数，pq互质。即x为有理数；

f(x) = 0，当x为无理数；

其中，q为自然数。

这个和狄利克雷函数比较类似。

如果我告诉你有一个函数，它确实有图像，但是你却画不出来，你信吗？

表达式为

当X为无理数是，值取0

当X为有理数时，值取1

大家可以在脑海中想象一下，假设从X轴正方向出发，会发现无理数和有理数都是无穷多，即便在一个极短的区间内，都无法画全整个图像

或者说脑海想象出的图像，用肉眼看上去就是两条直线：0和1，但这是由于点太密集导致的错觉，本质来讲根本不能叫直线，因为处处不连续，处处都是分散的点。

即便如此，狄利克雷函数的图像仍旧是客观存在的。