人教版七年级数学(下册)第九章_不等式和不等式组教案[1]

第九章 不等式与不等式组教材内容本章的主要内容包括：一元一次不等式（组）及其相关概念，不等式的性质，一元一次不等式（组）的解法及解集的几何表示，利用一元一次不等式分析、解决实际问题。 教材以实际问题

第九章 不等式与不等式组

教材内容

本章的主要内容包括：一元一次不等式（组）及其相关概念，不等式的性质，一元一次不等式（组）的解法及解集的几何表示，利用一元一次不等式分析、解决实际问题。 教材以实际问题为例引出不等式及其解集的概念，然后类比一元一次方程，引出一元一次不等式的概念。为进一步讨论不等式的解法，接着讨论了不等式的性质，并运用它们解简单的不等式。在此基础上，教材从一个选择购物商店问题入手，对列、解一元一次不等式作了进一步的讨论，并归纳一元一次不等式与一元一次方程的异同及应注意的问题。最后，结合三角形三条边的大小关系，引进了一元一次不等式组及其解集，并讨论了一元一次不等式组的解法。

教学目标

〔知识与技能〕1、了解一元一次不等式（组）及其相关概念；2、理解不等式的性质；

3、掌握一元一次不等式（组）的解法并会在数轴上表示解集；4、学会应用一元一次不等式（组）解决有关的实际问题。

〔过程与方法〕1、通过观察、对比和归纳，探索不等式的性质，在利用它解一元一次不等式（组）的过程中，体会其中蕴涵的化归思想；2、经历“把实际问题抽象为一元一次不等式”的过程，体会一元一次不等式（组）是刻画现实世界中不等关糸的一种有效的数学模型.

〔情感、态度与价值观〕1、通过类比一元一次方程的解法从而更好地去掌握一元一次不等式的解法，树立辩证唯物主义的思想方法；2、在利用一元一次不等式（组）解决问题的过程中，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。

重点难点

一元一次不等式（组）的解法及应用是重点；一元一次不等式（组）的解集和应用一元一次不等式（组）解决实际问题是难点。

课时分配

9.1不等式 „„„„„„„„„„„„„„„ „„„„„„4课时

9.2实际问题与一元一次不等式 „„„„„„„„„„„„ 3课时

9.3一元一次不等式组 „„„„„„„„„„„„„„„„ 2课时

9.4课题学习 利用不等式分析比赛 „„„„„„„„„ 1课时

本章小结 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 2课时

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9.1.1不等式及其解集

[教学目标]1、了解不等式和一元一次不等式的概念；2、理解不等式的解和解集，能正确表示不等式的解集。

[重点难点] 不等式、一元一次不等式、不等式的解、解集的概念是重点；不等式解集的理解与表示是难点。

[教学过程]

一、情景导入[投影1]

一辆匀速行驶的汽车在11：20时距离A 地50千米，要在12：00以前驶过A 地，车速应该具备什么条件？

题目中有等量关系吗？

没有。

那是什么关系呢？

从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A 地，则以这个速度行驶50千米所用的时间不到2/3小时，即汽车驶过A 地的时间小于2/3小时。

从路程上看，汽车要在12：00之前驶过A 地，则以这个速度行驶2/3小时的路程要超过50千米，即汽车2/3小时走的路程大于50千米。

这些是不等关系。

二、不等式的概念

若设车速为每小时x 千米，你能用一个式子表示上面的关系吗？

50/x ＜2/3 ① 或2/3x＞5 ②

像①②这样用“>”或“<”号表示大小关系的式子，是不等式。

我们还见过像a 2≠a 这样用“ ≠”号表示的式子，也是不等式。

“>”、“<”、 “ ≠”叫做不等号，不等号也可以写成“≤”、“≥”的形式。 总之，用不等号连接起来的式子叫做不等式。

思考1：下列式子中哪些是不等式？[投影2]

（1）a ＋b=b a （2）－3＞－5 （3）x ≠l

（4）x 十3>6 （5） 2m< n （6）2x-3

我们看到有些不等式不含未知数，有些不等式含有未知数。

类似于一元一次方程，含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

注意：像①中分母含有未知数的不等式不是一元一次不等式，这一点与一元一次方程类似。

三、不等式的解和解集

思考2：[投影3]判断下列数中哪些能使不等式2/3x > 50成立：

76，73，79，80，74. 9，75.1，90，60

76， 79，80， 75.1，90能使不等式2/3x > 50成立。

我们把能使不等式成立的未知数的值, 叫不等式的解.

我们看到不等式的解不是一个， 你还能找出这个不等式的其他解吗？它的解到底有多少个？

如77、81、101等等，所有大于75的数都是这个不等式的解，它的解有无数个。 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。如所有大于75的数组成不等式2/3x > 50的解集，写作x >7 5，这个解集可以用数轴来表示。

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求不等式的解集的过程叫做解不等式．

四、例题

例[投影4]在数轴上表示下列不等式的解集：

(1)x>-1;(2)x≥-1;(3)x<-1;(4)x≤-1

解:

（1） （2）

（3）

（4）

注意:1. 实心点表示包括这个点, 空心点表示不包括这个点；2、步骤：画数轴, 定界点, 走方向。、

五、课堂练习

课本123面1、2、3题。

六、课堂小结

1、什么是不等式？什么是一元一次不等式？

2、什么是不等式的解？什么是不等式的解集？

3、怎样表示不等式的解集？

作业：

课本128面1、2、3、8。

9.1.2不等式的性质（1）

[教学目标]1、 经历发现不等式性质的探索过程；2、理解不等式的性质。

[重点难点] 不等式的性质是重点；运用不等式的性质进行判断是难点。

[教学过程]

一、问题导入

对于比较简单的不等式，我们可以直接想出它们的解集，但是对于比较复杂的不等式，要直接想出解集来就困难了。因些，有必要讨论怎样解不等式。

和学习一元一次方程先讨论等式的性质一样，我们先来探索不等式有什么性质。

二、不等式的性质

做一做：用“>”、 “<” 填空：[投影1]

（1)5>3 , 5 2 3 2, 5-2 3-2；

（2)-1<3, -1 2 3 2, -1-3 3-3；

（3)6>2, 6×5 2×5, 6×(-5) 2×(-5)；

（4)-2<3, (-2)×6 3×6, (-2)×(-6) 3×(-6)。

观察（1）（2），类比等式的性质，你发现了什么规律？

性质1 不等式两边加(或减) 同一个数(或式子), 不等号的方向不变。

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即 如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c.

观察（3），类比等式的性质，你发现了什么规律？

性质2 不等式两边乘(或除以) 同一个正数, 不等号的方向不变.

即 如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc(或a/c＞b/c).

观察（4），类比等式的性质，你发现了什么规律？

性质3 不等式两边乘(或除以) 同一个负数, 不等号的方向改变。

即 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc(或a/c＜b/c).

思考：①比较上面的性质2与性质3，看看它们有什么区别？

性质2的两边乘或除的是一个正数，不等号的方向没有变；而性质3的两边乘或除的是一个负数，不等号的方向改变了。

②比较等式的性质与不等式的性质，它们有什么异同？

等式的性质与不等式的性质1、2，除了一个说“等式仍然成立”，一个说“不等号方向不变”的说法不同外，其余都一样；而不等式的性质3说“不等号方向改变”，这与等式的性质说法不同。

三、例题

例1 [投影2]利用不等式的性质填“>”, “<” :

(1)若a>b,则2a 2b;

(2)若-2y<10,则y -5;

(3)若a0,则ac-1 bc-1;

(4)若a>b,c<0,则ac 1 bc 1。

分析：不等式的两边发生了怎样的变化？填“>”或“<”的依据是什么？

解：（1）>，（2）<，（3）>，（4）<。

四、 课堂练习

1、判断正误：[投影3]

（1）∵a < b ∴ a－b < b－b

（2）∵a < b ∴a/3＜b/3

（3）∵a < b ∴ －2a < －2b

（4）∵－2a > 0 ∴ a ＜ 0

2、根据下列已知条件，说出a 与b 的不等关系，并说明依据不等式哪一条性质。[投影4]

（1）a －3 > b－3 （2）a/3＜b/3

（3）－4a > －4b （4）1-1/2a＜1-1/2b

3、填空[投影5]

（1）∵ 2a > 3a ∴ a是 数

（2）∵a/3＜a/2 ∴ a是 数

（3）∵ax < a且 x > 1 ∴ a是 数

作业：

课本128面4、5、7。

9.1.2 不等式的性质（二）

[教学目标]掌握一元一次不等式的解法。

[重点难点] 一元一次不等式的解法是重点；不等式性质3在解不等式中的运用是难点。

[教学过程]

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一、复习导入

[投影1]不等式的性质有哪些？不等式的性质与等式的性质有什么不同？

和利用等式的性质可以解方程一样，利用不等式的性质可以解不等式。

二、不等式的解法

例1 解下列不等式，并在数轴上表示解集：[投影2]

(1) x－7＞26 （2）3x < 2x＋1

（3）2/3x ≥ 50 (4)-4x≤3

分析：解不等式最终要变成什么形式呢？

就是要使不等式逐步化为x ＞a 或x

解：(1) x－7＞26

根据等式的性质1，得x －7 7＞26 7

∴x ＞33

（2）3x < 2x＋1

根据等式的性质1，得3x-2x < 2x＋1-2x

∴x<1

（3）2/3x ≥ 50

根据等式的性质2，得x ≥ 50×3/2

∴x ≥7 5

(4)-4x≤3

根据等式的性质3，得 x≤-3/4。

注意：运用不等式的性质1，实际上是方程中的“移项”。

例2 解不等式：1/2x-1≤2/3(2x 1) [投影1]

分析：我们知道，解不等式的依据是不等式的性质，而不等式的性质与等式的性质类似，因此，解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤基本相同。

解：去分母，得 3x-6≤4(2x 1)

去括号，得 3x-6≤8x 4

移项，得 3x-8x≤4 6

合并，得-5x ≤10

系数化为1，得 x≥-2

归纳：解一元一次不等式的步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）糸数化为1。

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四、课堂练习

课本127面练习1题；134面练习1题。

作业：

课本134面1题。

9.1.2 不等式的性质（三）

[教学目标]运用不等式解决有关的问题，初步认识一元一次不等式的应用价值。

[重点难点] 不等式的运用是重点；寻找不等关系是难点。

[教学过程]

一、复习新课

上节课我们学习了不等式的解法，请问：解不等式的依据是什么？解不等式的步骤是什么？

有很多问题与不等式相联系，需要运用不等式来解决。

二、不等式的初步应用

例1[投影1]三角形任意两边之差与第三边有着怎样的大小关系？

分析：三角形任意两边之和与第三边有着怎样的大小关系？

a

解：设 a、b 、c 为任意一个三角形的三条边的长，则

a b＞c, b c＞a, c a＞b.

移项，得

a ＞c-b, b＞a-c, c＞b-a.

上面的式子说明了什么？

三角形中任意两边之差小于第三边。

归纳：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

例2 [投影2] 已知x=3-2a是不等式1/5(x-3)＜x-3/5的解，求a 的取值范围。 分析：由不等式解的意义，你能知道什么？

解：依题意，得

1/5[(3-2a) -3]＜(3-2a) -3/5

1/5·（-2a ）＜12/5-2a

-2a＜12-10a

8a＜12

∴a ＜3/2

例3[投影3] 某长方体形状的容器长5 cm，宽3 cm，高10 cm.容器内原有水的高度为

33 cm ，现准备继续向它注水．用V （单位： cm）表示新注入水的体积，写出V 的取值范围。

分析：新注入水的体积应满足什么条件？

新注入水的体积与原有水的体积的和不能超过容器的体积。

解：依题意，得

V 3×5×3≤3×5×10

∴V ≤105。

思考：这是问题的答案吗？为什么？

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不是，因为新注入水的体积不能是负数，所以V ≥0。

∴ 0≤V ≤105

在数轴上表示为：

注意：解答实际问题时，一定要考虑问题的实际意义。

三、课堂练习

1、课本127面练习2；

2、补充题：[投影4]小华准备用21元钱买笔和笔记本，已知每支笔3元，每本笔记本

2.2元，她买了2本笔记本，请问她最多还能买几支笔？

作业：

课本134面2、3；128面9；129面10。

第九章不等式复习一（9.1）

一、双基回顾

1、不等式：用等号（＜、≤、＞、≥）连接起来的式子，叫做不等式。

〔1〕用不等式表示：

①x 与1的差是负数： ； ②a 的1/2与b 的3倍大于2 ；

③x 、y 的平方和是非负数 。

2、不等式的解和解集

使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

注意：解集包括解，所有的解组成解集；解是一个数，解集是一个范围。

〔2〕判断下列说法是否正确：

①4是不等式x ＋3＞6的解；②不等式x ＋2＞1的解是x ＞－1；③3是不等式x ＋2＞5

的一个解；④不等式x ＋1＜4的解集是x ＜2.

3、一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不

等式。

〔3〕下列不等式是一元一次不等式的是 .

2①3x 5=1；②2y-1≤5；③2/x 1＞3；④5 2＜8; ⑤3 x≥x.

4、不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.

即 如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c.

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 即 如果a ＞b ，c ＞0，

那么ac ＞bc(或a/c＞b/c).

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 即 如果a ＞b ，c ＜

0，那么ac ＜bc(或a/c＜b/c).

注意：①不等式的性质与等式的性质有相通之处，又有不同之点；②不等式的性质是解

不等式的依据。

〔4〕已知a ＞b ，填空：①a 3 b 3, ②2a 2b, ③- a/3 －b/3，④a －

b 0.

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5、解一元一次不等式

〔5〕解一元一次不等式: 2x≥5x 6，并在数轴上表示解集。

二例题导引

例1 判断正误：

2222①若a ＞b, 则 ac＞bc ；②若ac ＞bc ,则a ＞b ；③若2 a 1＞2b 1, 则a ＞b ；④若a

＞b, 则1－2 a＞1－2b.

例2 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。

（1）3（1－x ）＜2(x 9); (2) 1-x 1-2x . -1≤32

例3 a 取什么自然数时，关于x 的方程2－3x= a解是非负数？

例4 小明和小丽决定把省下来的零用钱存起来，这个月小明顾虑了168元，小丽顾虑了85元，从下个月开始小明每月顾虑16元，而小丽每月存25元，问几个月后小丽的存款数能超过小明？

三、练习提高

夯实基础

1、已知x 的1/2与5的差不小于3，用不等式表示为 。

2、若不等式组的解集为-1≤x ，则图中表示正确的是（ ）

C

D

3、设A 、B 、C A ”、“ B ”、“C ）

（A ） A B C （B ）C A B （C ） B A C （D ） B

C A

4、如果x ＞y ，下列各式中不正确的是[ ]

A 、1/2＋x ＞1/2＋y B、－1/2＋x ＞－1/2＋y

C 、1/2 x＞1/2 y D、 －1/2 x＞－1/2 y

5、当x 时，2-3x 为非正数.

6、已知点M （－5＋m,-3）在第三象限，则m 的取值范围是 。

7、当x 时，式子3x -5的值大于5x 3的值。

8、阳阳从家到学校的路程为2400米，他早晨8点离开家，要在8点30分到8点40分之间到学校，如果用x 表示他的速度（单位：米/分），则x 的取值范围为 。

9、已知x=3-2a是不等式1/5（x-3）＜x-3/5的解，那么a 的取值范围是 。

10、解下列不等式，并在数轴上表示解集。

（1）4x-1＜-2x 3; (2) 3(x 1) ＞2

（3）1/2 x≥-2/3 x-2 (4) 1/2x-7＜1/6(9x-1)

11、已知关于x 的方程2x 12=4a -3x 的解是非正数，求a 的取值范围.

能力提高

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12、已知a 是一个数，且x ＞y ，则下列不等式中，正确的是（ ）

2222 Ａ、ax ＞ay B 、ax ≤ay Ｃ、a x ≥a y D 、a x ≤a y

13、不等式3（x-2）＜x-1的自然数解是

14、不等式ax ＞a 的解集为x ＜1，则a 的取值范围是（ ）

A 、a ＞0 B、a ≥0 C、a ＜0 D、a ≤0

15、如果三个连续自然数的和不大于９，那么这样自然数共有组___________。

16、解下列不等式，并分别把它们的解集在数轴上表示出来.

（1）3-2（x-1）＞5x ； （2）3/4-8x≤3-11/2x

（3）4/5-（2x-3）/2＜0 （4）1-

2x -21 4x ≤262 16、k 取什么值时，式子1/2(1-5k-1/3k) 2/3(k/4-k)的值, （1）小于0？（2）不小

于0？

17、某学校把学生的笔试、实践能力两项成绩分别按60，40的比例计入学期总成绩，小明实践能力这一项成绩是81分，若想学期总成绩不低于90分，则笔试的成绩至少是多少分？

探索创新

18、已知方程组⎨⎧3x 2y =m 1，m 为何值时，x ＞y ？ 2x y =m -1⎩

9.2 实际问题与一元一次不等式（一）

[教学目标] 学会从实际问题中抽象出不等式模型，会用一元一次不等式解决实际问题。

[重点难点] 用一元一次不等式解决实际问题是重点；找不等关系是难点。

[教学过程]

一、导入新课

我们知道，在生产和生活中存在大量的等量关系，与此同时，我们也看到在生产和生活中存在着大量的不等关系，解决这些问题，用不等式比较方便。

二、例题

例1[投影1] 某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分. 小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？

分析：“超过90分”是什么意思？本题的不等关系是什么？

“超过90分”就是大于90分；不等关系是：答对的得分-答错或不答的扣分＞90。 解：设小明答对x 道题，则他答错或不答的题数为20-x 。根据他的得分要超过90，得

10x-5(20-x) ＞90

10x-100 5x ＞90

15x ＞90

∴x ＞38/3

思考： 这是本题的答案吗？为什么？

这不是本题的答案。因为x 是正整数且不能大于20，所以 小明至少要答对13题。

例2[投影2] 2002年北京空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数之比达到55，如果到2008年这样的比值要超过70，那么2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加多少？

分析：2002年北京空气质量良好的天数是多少？用x 表示2008年增加的空气质量良好

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的天数，则2008年北京空气质量良好的天数是多少？本题的不等关系是什么？

2002年北京空气质量良好的天数是365×55;2008年北京空气质量良好的天数是x 365×55;不等关系是:2008年北京空气质量良好的天数÷366 ＞70.

解：设2008年北京空气质量良好的天数比2002年增加x 天，依题意，得

（x 365×55）/366 ＞70

去分母，得

x 200.5 ＞256.2

移项，合并同类项，得 x＞55.45

思考：这是本题的答案吗？为什么？本题的答案是什么？

不是。因为x 为正整数。

∴x ≥56

答：2008年北京空气质量良好的天数至少比2002年增加56天。

注意：用不等式解应用问题时，要考虑问题的实际意义。例1与例2中的未知数都应是正整数。

三、课堂练习课本134练习2、3。

四、课堂小结

用一元一次不等式解决实际问题与用一元一次方程解决实际问题一样，要将实际问题通过列一元一次不等式转化为数学问题，然后通过解决数学问题来解决实际问题。

作业：课本134面3（1）、（3）；129面12；135面5、7题。

9.2 实际问题与一元一次不等式（二）

[教学目标] 会从实际问题中抽象出不等式模型，进一步学会用一元一次不等式解决实际问题。

[重点难点] 用一元一次不等式解决实际问题是重点；找不等关系是难点。

[教学过程]

一、导入新课

上节课我们讨论了用不等式解决实际问题，这节课我们继续讨论这个问题。

二、例题

例[投影1] 甲、乙两个商场以同样的价格出售同样的商品，同时又各自推出不同的优惠措施．甲商场的优惠措施是：累计购买100元商品后，再买的商品按原价的90％收费；乙商场则是：累计购买50元商品后，再买的商品按原价的95％收费．顾客选择哪个商店购物能获得更多的优惠？

分析：由于甲商场优惠措施的起点为购物100元，乙商场优惠措施的起点为购物50元，起点数额不同，因此必须分别考虑．你认为应分哪几种情况考虑？

分三种情况考虑：①累计购物不超过50元；②累计购物超过50元但不超过100元；③累计购物超过100元。

（1）如果累计购物不超过50元，则在两店购物花费有区别吗？为什么？

没有区别。因为两家商店都没有优惠。

（2）如果累计购物超过50元但不超过100元，则在哪家商店购物花费小？为什么？ 在乙商店购物花费小。因为乙商店有优惠，而甲商店没有优惠。

（3）如果累计购物超过100元，那么在哪家商店购物花费小？

因为两家商店都有优惠，所以要分三种情况考虑：

设累计购物x 元(x＞100) ，则在甲商店购物花费多少元？在乙商店购物花费多少元？

在甲商店购物花费：100 0.9(x-100)元；在乙商店购物花费：50 0.95(x-50)。 ① 若在甲商场购物花费小，则

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